Question

【題目】已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與以為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.B.C.D.的面積為

Answer 1

【答案】ABC

【解析】

由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線為，利用拋物線的幾何性質(zhì)求出和拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線的方程可知，直線經(jīng)過焦點(diǎn)，利用拋物線的定義表示出以為直徑的圓的半徑和圓心,由得到關(guān)于的方程，解方程求出，利用拋物線的定義和點(diǎn)到直線的距離分別求出的長(zhǎng)度和的面積，據(jù)此即可判斷.

由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?/span>，所以拋物線的方程為：，其焦點(diǎn)為，

又直線，即，所以直線恒過拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?/span>兩點(diǎn)在拋物線上，

聯(lián)立方程，兩式相減可得，，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

解得可得，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心，

由拋物線的定義知，圓的半徑，

因?yàn)?/span>，所以，

解得，故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)?/span>，所以弦長(zhǎng)，故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)?/span>，所以直線為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，

點(diǎn)到直線的距離為，所以，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC