Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明： .

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，于導(dǎo)數(shù)可知導(dǎo)數(shù)的符號受參數(shù)的取值的影響，根據(jù)， ， ，分析即可，（2）要證，問題轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，只需證明是增函數(shù)即可

試題解析：

解：（1）的定義域為，且，

①當時， ，此時的單調(diào)遞減區(qū)間為.

②當時，由，得；

由，得.

此時的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

③當時，由，得；

由，得.

此時的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（2）當時，要證： ，

只要證： ，即證： .（*）

設(shè)，則，

設(shè)，

由（1）知在上單調(diào)遞增，

所以當時， ，于是，所以在上單調(diào)遞增，

所以當時，（*）式成立，

故當時， .

.