Question

（2012•綿陽三模）已知f^-1（x）為函數(shù)f（x）=

x

1+x

（x≠-1）的反函數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，且f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（II）已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=|

2nSn

an

|，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由函數(shù)f（x），求得反函數(shù)，再由f^-1（S_n+1）=S_n求得數(shù)列{

1

Sn

}是以1為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可計(jì)算得S_n從而計(jì)算得到T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，最后由錯(cuò)位相消法求和．

解答：證明：（I）函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=

x

1-x

（x≠1）．
∵f^-1（S_n+1）=S_n（n∈N*），
∴S_n=

Sn+1

1-Sn+1

，即

1

Sn+1

-

1

Sn

=1，
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以1為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列．…（4分）
（II）由（I）知，

1

Sn

=1+(n-1)×1=n，即S_n=

1

n

．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a_n=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

n

-

1

n-1

=-

1

n(n-1)

，
即a_n=

1，n=1 - 1 n(n-1) ，n≥2

 …（6分）
由題意得b_n=

2，n=1 (n-1)•2n，n≥2

…（7分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n=T₁=b₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=2+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n-2T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-2)

1-2

-(n-1)•2n+1，
即-T_n=（2-n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6，
經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)，T₁的值也符合此公式，
∴對(duì)n∈N*，T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+6．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相消法求和等問題，屬中檔題，是�？碱愋停�