Question

【題目】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求得方程表示的圓的圓心和半徑，設(shè)=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點(diǎn)，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值.

(2)設(shè)y﹣x=t，由題意可得直線x﹣y+t=0與圓C有交點(diǎn)，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值

（3）由幾何意義知x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知其在原點(diǎn)與圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處，可得最值.

(1) （1）x2+y2﹣4x+1=0即為（x﹣2）2+y2=3，

表示圓心為C（2，0），半徑為r=的圓，

設(shè)=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點(diǎn)，

可得≤，解得﹣≤k≤，

即有最小值為﹣，最大值為.

(2) 設(shè)y﹣x=t，由題意可得直線x﹣y+t=0與圓C有交點(diǎn)，

可得≤，解得﹣2﹣≤t≤﹣2+，

即有最小值為﹣2﹣，最大值為﹣2+

(3)x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知其在原點(diǎn)與圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又知圓心到原點(diǎn)的距離為2，

故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4．