Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)

（1）若以，為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過，分別作拋物線的切線，，證明：，的交點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由拋物線的定義求出，可得拋物線方程

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出過、兩點(diǎn)的切線方程，并求出其交點(diǎn).再由直線與拋物線聯(lián)立得到、兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.帶入交點(diǎn)坐標(biāo)，可得所求定直線.

（1）設(shè)中點(diǎn)為,到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為.則

由拋物線的定義可知，,所以

由梯形中位線可得

所以，而，所以，可得

∴拋物線

（2）設(shè)，

由得則

所以直線方程為，直線方程為

聯(lián)立得，，即，交點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)?/span>過焦點(diǎn)

所以設(shè)直線方程為代入拋物線中得

∴

所以

所以，的交點(diǎn)在定直線上