Question

將一幅斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中AD=BD=，∠BAC=30°，若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動，則下列說法正確的是    ．
①當平面ABD⊥平面ABC時，C、D兩點間的距離為；
②在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，總有AB⊥CD；
③在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，三棱錐D-ABC體積的最大值為．

Answer 1

【答案】分析：①結(jié)合圖象，利用面面垂直的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半求解；
②用反證法，假設(shè)垂直，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)推到是否可能，從而得出結(jié)論；
③根據(jù)棱錐的體積公式，在底面積不變的情況下，體積的大小取決于高，當平面ABD⊥平面ABC時，高最大，求出即可．
解答：解：①取AB中點O，連接DO、CO，
∵AD=BD=，∴DO=1，AB=2，OC=1
∵平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，DO⊥OC，
∴DC=，①正確；
②若AB⊥CD，則AB⊥平面CDO，AB⊥OC，∵O為中點，∴AC=BC，∠BAC=45°與∠BAC=30°矛盾，∴②錯誤；
③當DO⊥平面ABC時，棱錐的高最大，此時V_棱錐=××AC×BC×DO=××1×1=．③正確．
故答案是①③
點評：本題考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及棱錐的體積公式．V_棱錐=Sh．