Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)．
（I）求證：MN∥平面ABCD；
（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M(jìn)，N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)，∴M（1， ，1），N（1，﹣2，1）．
由題意得 =（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量，
=（0，﹣ ，0），
∵ =0，又∵直線MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（II） =（1，﹣2，2）， ，設(shè) 為平面ACD1的法向量，
則 ，不妨設(shè)z=1，得 =（0，1，1），
設(shè) 為平面ACB1的一個(gè)法向量， =（0，1，2），
則 ，不妨設(shè)z=1，得 =（0，﹣2，1），
∴cos＜ ＞= =﹣ ，于是sin＜ ＞= = ，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求出兩個(gè)平面的法向量，可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行)．