Question

已知DA⊥平面ABC，AC⊥CB，AC=CB=AD=2，E是DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）證明AC⊥EF；
（2）求二面角C-DB-A的正切值；
（3）求點(diǎn)A到平面BCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點(diǎn)，AC，AD的方向分別為X，Z軸的正方向，建立坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，，代入向量夾角公式，即可得到AC⊥EF；
（2）求出平面CDB的法向量及平面ADB的法向量，然后代入二面角向量法公式，即可得到二面角C-DB-A的余弦值，進(jìn)而得到二面角C-DB-A的正切值；
（3）連接AE，我們易證明AE⊥平面BCD，解三角形ACD，我們易求出AE的長度，即點(diǎn)A到平面BCD的距離．
解答：解：（1）證明：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），D（0，0，2），B（2，2，0），C（2，0，0），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，0）
∴=（2，0，0），=（0，1，-1）
所以=0，
∴AC⊥EF
（2）∵AC=CB且F為AB的中點(diǎn)
∴CF⊥AB，又由CF⊥AD，AB∩AD=A
∴CF⊥平面ABD，
∴=（1，-1，0）為平面ABD的法向量
又∵AD=AC，E為CD的中點(diǎn)，
∴AE⊥CD
又∵BC⊥平面ACD，
∴AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD
故=（1，0，1）為平面BCD的一個(gè)法向量
則cosθ==
則tanθ=
故二面角C-DB-A的正切值為
（3）∵AD=AC，E是DC的中點(diǎn)
∴AE⊥DC
又∵CB⊥CA，CB⊥AD，而CA∩AD=A
∴CB⊥平面CAD
∴AE⊥CB，又由CD∩CB=C
∴AE⊥平面DCB，
在等腰直角三角形ACD中，可得AE=
即求點(diǎn)A到平面BCD的距離為
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)、線、面的距離的計(jì)算，二面角的平面角及求法，其中根據(jù)已知中DA⊥平面ABC，AC⊥CB，建立空間坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．