Question

（2008•鹽城一模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即 {x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個命題：
（1）y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]
（2）y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1
（3）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱
（4）y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)   
則其中真命題是

（1）、（2）、（3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（k-x）與f（-x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷（2）的正誤；而由（1）的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的單調(diào)性，但要說明（4）不成立，我們可以舉出一個反例．

解答：解：（1）中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]]，所以f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]，所以（1）正確．
（2）中，因為f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），所以周期為1，故（2）正確．
（3）中，因為f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），所以關(guān)于x=

k

2

（k∈Z）對稱
線x=

k

2

（k∈Z）對稱對稱，故（3）正確．
（4）中，當(dāng)x=-

1

2

時，m=-1，此時f（-

1

2

）=

1

2

，
當(dāng)x=

1

2

時，m=0，此時f（

1

2

）=

1

2

，
所以f（-

1

2

）=f（

1

2

），所以（4）錯誤．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查的知識點是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對4個結(jié)論進行驗證．