Question

如圖，已知斜三棱柱（側棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，，．
（Ⅰ） 設AC的中點為D，證明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ） 求異面直線A₁C與AB成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可證A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）過B作AC的垂線BE，垂足為E，以D為原點，A₁D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標系，通過計算求出向量，的坐標，利用向量的夾角公式即可求得．
解答：（Ⅰ）證明：∵AC=2，AA₁=A₁C=，∴AC²=AA₁²+A₁C²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，
又D是斜邊AC的中點，∴A₁D⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2，AB=2，AC²=AB²+BC²，
∴三角形ABC是直角三角形，過B作AC的垂線BE，垂足為E，
則BE===，EC===，
∴DE=CD-EC=-=，
以D為原點，A₁D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A（0，-，0），A₁（0，0，），B（，，0），C（0，，0），
=（0，，-），=（，，0），
所以cos＜，＞==，
故所求余弦值為．
點評：本題考查空間中直線與平面所成的角、異面直線所成的角，考查空間向量在立體幾何中的應用，考查學生的計算能力．