Question

如圖，已知斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，BC=2，AC=2

3

，AB=2

2

，AA1=A1C=

6

．
（Ⅰ） 設(shè)AC的中點(diǎn)為D，證明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ） 求異面直線A₁C與AB成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可證A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）過B作AC的垂線BE，垂足為E，以D為原點(diǎn)，A₁D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算求出向量

A1C

，

AB

的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得．

解答：（Ⅰ）證明：∵AC=2

3

，AA₁=A₁C=

6

，∴AC²=AA₁²+A₁C²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，
又D是斜邊AC的中點(diǎn)，∴A₁D⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2

3

，AB=2

2

，AC²=AB²+BC²，
∴三角形ABC是直角三角形，過B作AC的垂線BE，垂足為E，
則BE=

AB•BC

AC

=

2•2 2

2 3

=

2 6

3

，EC=

BC2-BE2

=

4- 8 3

=

2 3

3

，
∴DE=CD-EC=

3

-

2 3

3

=

3

3

，
以D為原點(diǎn)，A₁D所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，平行于BE的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（0，-

3

，0），A₁（0，0，

3

），B（

2 6

3

，

3

3

，0），C（0，

3

，0），

A1C

=（0，

3

，-

3

），

AB

=（

2 6

3

，

4 3

3

，0），
所以cos＜

A1C

，

AB

＞=

A1C • AB

| A1C || AB |

=

6

3

，
故所求余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查空間中直線與平面所成的角、異面直線所成的角，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．