Question

如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿對角線BD吧△ABD折起到△A₁BD的位置，使A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求直線A₁C與平面A₁BD所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出A₁O⊥平面BCD，BC⊥A₁O，從而得到BC⊥平面A₁CD，由此能證明BC⊥A₁B．
（2）由（1）得BC⊥A₁D，結(jié)合A₁D⊥A₁B和線面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面A₁BC，進(jìn)而平面A₁DB⊥平面A₁BC，過C作CE⊥A₁B于E，∠CA₁E即為直線A₁C與平面A₁BD所成角，解三角形可得答案．

解答： 證明：（1）∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，
又∵BC?平面BCD，∴BC⊥A₁O，
又∵BC⊥CO，A₁O∩CO=O，∴BC⊥平面A₁CD，
又∵A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D．
解：（2）由（1）得BC⊥A₁D，
又∵A₁D⊥A₁B，A₁B∩BC=B，A₁B，BC?平面A₁BC，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁DB，
∴平面A₁DB⊥平面A₁BC，
過C作CE⊥A₁B于E，
則CE⊥平面A₁BD，
∴∠CA₁E即為直線A₁C與平面A₁BD所成角，
∴sin∠CA₁E=

BC

A1B

=

3

5

，
∴cos∠CA₁E=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查線面夾角的余弦值的求法，考查運(yùn)算推恒能力，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．