Question

設函數(shù)f(x)＝x²＋2x＋kln x，其中k≠0.
(1)當k>0時，判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；
(2)討論f(x)的極值點．

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增
（2）x₀是f(x)唯一的極小值點  見解析

f′(x)＝x＋2＋.
(1)當k>0時，f′(x)＝x＋2＋>0在(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
令f′(x)＝＝0，
得(x＋1)²＝1－k>(0＋1)²＝1，
所以當k>0時，f′(x)＝0在(0，＋∞)沒有根，f(x)沒有極值點；
當k<0時，f′(x)＝0在(0，＋∞)有唯一根x₀＝－1，
因為在(0，x₀)上f′(x)<0，在(x₀，＋∞)上f′(x)>0，
所以x₀是f(x)唯一的極小值點．