Question

已知二次函數f （ x ）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函數y=f （sinx+

3

cosx） （x∈R）的最大值為

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）當a＞2時，求證：f （sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥1-a．其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈Z）．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的定義域和值域

專題：導數的綜合應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用輔助角公式，我們可以確定函數y=f （sinx+

3

cosx）（x∈R）的解析式，進而利用換無法，可將問題轉化了一個二次函數在定區(qū)間上的最值問題，進而得到答案．
（2）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

，利用換元法我們可以將不等與左邊對應的函數轉化為f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），進而根據二次函數的性質，判斷出其最值，并將問題轉化為一個函數恒成立問題，最后得到結論．

解答： （1）解：令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∵x∈R，∴-2≤t≤2，----2分
∴y=t2+at=(t+

a

2

)2-

a

4

，
當a＜0時，t=-2時，y最大=4-2a=

16

3

，解得：a=-

2

3

此時f(x)=(x-

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

．--------2分
當a≥0時，t=2時，y最大=4+2a=

16

3

，解得：a=

2

3

此時，f(x)=(x+

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

綜合上述，條件滿足時，f（x）的最小值為-

1

9

-------2分
（2）證明：∵x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

(k∈Z)，∴sin²x，cos²x∈（0，1）
又sin²x+cos²x=1，故設t=sin²x，則有cos²x=1-t
設f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））------------2分
∴f′(t)=log2t+log2e-log2(1-t)-log2e=log2

t

1-t

----------2分
令f'（t）=0，得t=

1

2

當0＜t＜

1

2

時，f'（t）＜0，∴f（t）在（0，

1

2

）單調遞減，
當

1

2

＜t＜1時，f'（t）＞0，∴f（t）在（

1

2

，1）單調遞增，
∴t=

1

2

時f（t）取最小值等于f(

1

2

)=

1

2

log2

1

2

+

1

2

log2

1

2

=log2

1

2

=-1，
即有sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x≥-1----------3分
當a＞2時，f（x）=x²+ax的對稱軸x=-

a

2

＜-1，∴f（x）在（-1，+∞）上單調遞增，
∴f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)≥f(-1)=1-a-------2分．

點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區(qū)間上的最值，不等式的綜合，三角函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解答本題的關鍵．