Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且an+1=

an

1+an

（1）證明數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

a1

2

+

a2

3

+

a3

4

+…+

an

n+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知得a_n+1a_n=a_n-a_n+1，兩邊同除以a_n+1a_n得出

1

an+1

-

1

an

=1，判斷出{

1

an

}為等差數(shù)列，先求出{

1

an

} 的通項(xiàng)公式，再求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
 （2）由（1）應(yīng)得出

an

n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n

-

1

n+1

，放縮裂項(xiàng)后，對不等式左邊化簡整理再與1比較，進(jìn)行證明．

解答：解：（1）由已知得a_n+1a_n=a_n-a_n+1a_n
兩邊同除以a_n+1a_n得出

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}為公差為1的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為

1

a1

=2
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

1 an =2+(n-1)=n+1 ∴an= 1 n+1

（2）證明：∵

an

n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n

-

1

n+1

∴

a1 2 + a2 3 + a3 4 +…+ an n+1 ＜ 1 2×1 + 1 3×2 + 1 4×3 +…+ 1 (n+1)n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 ＜1

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，考查變形構(gòu)造、計(jì)算能力，以及不等式的證明．屬于中檔題．