Question

設(shè)，其中實常數(shù)a≥-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）試研究函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式易得定義域為R，由于a的取值范圍不同，函數(shù)的值域形式不同，要分a=-1，a＞-1兩種情況研究函數(shù)值域；
（II）函數(shù)的性質(zhì)主要是批函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，根據(jù)函數(shù)的解析式，先判斷出性質(zhì)再依據(jù)定義證明即可．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，f（x）=-1，定義域為R 
當(dāng)a＞-1時，由于1+2^x＞0恒成立，所以函數(shù)f（x）的定義域為R
又，
當(dāng)a＞-1時，因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，
，從而-1＜f（x）＜a，
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，a）．
綜上，當(dāng)a=-1時，函數(shù)值為-1；當(dāng)a＞-1時，函數(shù)值域是（-1，a）． 
（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則，對于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x）成立，
即化簡得（a-1）（1+2^x）=0得a=1
∴當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)a＞-1，且a≠1時，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)．
∵對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，a＞-1
有
當(dāng)a＞-1時，函數(shù)f（x）是遞減函數(shù)．
點評：本題研究一個與指數(shù)有關(guān)的性質(zhì)的研究，涉及到了函數(shù)的定義域值域單調(diào)性奇偶性，解題的關(guān)鍵理解函數(shù)的性質(zhì)，且能掌握函數(shù)性質(zhì)的證明方法，本題求值域時對函數(shù)解析式分離常數(shù)是重點，研究函數(shù)奇偶性時，對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論是本題的難點．