Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+ 相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個交點(diǎn)為，是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以為
直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.

Answer 1

（1） ； (2)兩圓心距為，所以兩圓內(nèi)切.

試題分析：（1）由于e= ∴           1分
又 ∴           3分
         4分
所以橢圓的方程為：             5分
(2)由（1）可知，直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，
則以為直徑的圓方程是，圓心為，半徑為        9分
以橢圓長軸為直徑的圓的方程是，圓心是，半徑是          11分
兩圓心距為，所以兩圓內(nèi)切.            14分
點(diǎn)評：中檔題，本題橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)用橢圓的幾何性質(zhì)，屬于常見類型。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題研究圓與圓的位置關(guān)系，注意考查圓心距與半徑和（差）的關(guān)系。