Question

（2012•成都模擬）已知底面邊長為2，側棱長為

6

的正四棱錐P-ABCD內接于球O，則球面上A、B兩點間的球面距離是（　�。�

• A．a(chǎn)rccos

  1

  9

• B．

  3

  2

  arccos

  1

  9

• C．

  2

  π
• D．

  2

  2

  π

Answer 1

分析：設球的半徑為R，利用正四棱錐的性質和球的性質，結合勾股定理列方程，解之得球半徑，進而求出球心角，利用球面距離公式，可得結論．

解答：解：設外接球球心為O，正方形ABCD中心為O₁，連接VO₁，則球心O在VO₁上，連接AC、OA、OB
∵正方形ABCD邊長為2，∴對角線AC=2

2

，O₁A=

1

2

AC=

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=

6-2

=2
設外接球半徑為R，則Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=2-R
∴R²=（2-R）²+2，解之得：R=

3

2

因此，△AOB中，cos∠AOB=

9 4 + 9 4 -2

2× 3 2 × 3 2

=

1

9

故∠AOB=arccos

1

9

所以AB兩點的球面距離為R×∠AOB=

3

2

arccos

1

9

故選B．

點評：本題考查球面距離，考查了正四棱錐的性質和球的性質，余弦定理和反三角函數(shù)的應用等知識點，屬于中檔題．