Question

在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在點使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為 ，

所以 .                         ……………………………………1分

因為 平面平面，平面平面，

平面，

所以 平面.                   ………………………………………3分

（Ⅱ）解：取的中點，連接.

因為，

所以 .

因為 平面平面，平面平面，平面，

所以 平面.                 ………………………………………4分

如圖，

以為原點，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過垂直于的直

線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系．不妨設(shè).由

直角梯形中可得，，

.

所以 ，.

設(shè)平面的法向量.

因為

所以

即

令，則.

所以 .                  ………………………………………7分

取平面的一個法向量n.

所以 .

所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.

                                        ………………………………………9分

（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時. 理由如

下：                                   ………………………………………10分

取的中點，連接，，則 ∥，.

因為 ，

所以 .

因為 ∥，

所以 四邊形是平行四邊形.

所以 ∥.

因為 ，

所以 平面∥平面.            ………………………………………13分

因為 平面，

所以 ∥平面.                ………………………………………14分