Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為a的正三角形，二面角P-AD-B為直二面角，ABCD是矩形，E是AB中點(diǎn)，PC與底面ABCD成30°角．
（Ⅰ）求二面角P-EC-D的大��；
（Ⅱ）求D點(diǎn)到平面PEC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)F，連PF，根據(jù)勾股定理可知FE⊥EC，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠PEF就是其所求二面角的平面角在直角三角形PEF中求出此角即可求得二面角P-EC-D的大�。�
（Ⅱ）設(shè)D點(diǎn)到平面的距離為h，然后利用等體積法V_D-PCE=V_P-CDE建立關(guān)系式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)F，連PF，
則PF=

3

2

a且PF⊥平面ABCD，
連CF，則∠PCF=30°
∴CF=

3

2

a，∴CD=

2

a（4分）
∴CE=

6

2

a，連FE，則FE=

3

2

a．
∴FE²+CE²=CF²
∴FE⊥EC，
∴∠PEF就是其所求二面角的平面角（6分）
在Rt△PFE中，∵PF=FE=

3

2

a，∴∠PEF=45°
即二面角P-EC-D的大小為45°（8分）
（Ⅱ）設(shè)D點(diǎn)到平面的距離為h，
∵V_D-PCE=V_P-CDE
∴

1

3

•h•

1

2

(

6

2

a)2=

1

3

•

1

2

•

2

a•a•

3

2

a?h=

6

3

a（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離，以及二面角大小的度量，同時考查了推理能力和計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．