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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          f′(1)
          e
          ex-f(0)•x+
          1
          2
          x2
          (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
          (1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間
          (2)若函數(shù)g(x)=
          1
          2
          x2+a
          與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)把x=0代入解析式求出f(0),再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),把x=1代入f′(x)求出f′(1),再求出f(0),代入解析式即求出f(x)的解析式,再由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,求出f′(x)<0和f′(x)>0解集,即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          (2)將條件轉(zhuǎn)化為:ex-x-a=0在[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的根,構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x-a,再求出導(dǎo)數(shù)并判斷出在[-1,2]上的單調(diào)性,再列出不等式組求解即可.
          解答:解:(1)由題意得,f(0)=
          f′(1)
          e
          e0
          =
          f′(1)
          e

          且f′(x)=
          f′(1)
          e
          ex-f(0)+x
          =
          f′(1)
          e
          ex-
          f′(1)
          e
          +x
          ,
          ∴f′(1)=
          f′(1)
          e
          e -
          f′(1)
          e
          +1
          ,解得f′(1)=e,且f(0)=1,
          故f(x)=ex-x+
          1
          2
          x2

          ∴f′(x)=ex-1+x,
          又∵f′(x)=ex-1+x在R上遞增,且f′(0)=0,
          ∴當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,
          ∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(0,+∞),減區(qū)間是(-∞,0),
          (2)由題意得,g(x)與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
          1
          2
          x2+a
          =ex-x+
          1
          2
          x2
          在[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的根,
          即ex-x-a=0在[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的根,
          設(shè)h(x)=ex-x-a,則h′(x)=ex-1,
          令h′(x)=ex-1=0得,x=0,
          ∴當(dāng)x<0時(shí),h′(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,
          ∴h(x)在[-1,0]上遞減,在(0,2]上遞增,
          ∵ex-x-a=0在[-1,2]上恰有兩個(gè)不同的根,
          h(0)<0
          h(-1)>0
          h(2)>0
          ,即
          1-a<0
          e-1+1-a>0
          e2-2-a>0
          ,
          解得1<a<1+
          1
          e
          ,
          故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,1+
          1
          e
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性,方程根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          15、已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x無(wú)實(shí)根,則下列命題中:
          (1)方程f[f(x)]=x一定無(wú)實(shí)根;
          (2)若a>0,則不等式f[f(x)]>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立;
          (3)若a<0,則必存在實(shí)數(shù)x0,使得f[f(x0)]>x0
          (4)若a+b+c=0,則不等式f[f(x)]<x對(duì)一切x都成立.
          其中正確命題的序號(hào)有
          (1)(2)(4)
          (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=3x,且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定義域?yàn)閇0,1].
          (1)求g(x)的解析式;
          (2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間,確定其單調(diào)性并用定義證明;
          (3)求g(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y)且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-
          23

          (1)求證:f(x)+f(-x)=0
          (2)求證:函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù);
          (3)求f(X)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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