Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)的兩個極值點恰為函數(shù)的兩個零點，且的范圍是，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）求解導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的分子（二次函數(shù)）分類討論與的關(guān)系，從而可分析出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于的新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性分析出的取值范圍，然后根據(jù)與的關(guān)系即可求解出的取值范圍.

解：（1）的定義域為，.

（i）若，則，當且僅當，時，

（ii）若，令得.

當時，；

當時，，

所以，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當時，單調(diào)遞減區(qū)間為；

單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知：且.

又，∴，

由得，

∴.

令，∴，

∴，所以在上單調(diào)遞減.

由y的取值范圍是，得t的取值范圍是，

∵，∴，

∴，

又∵，故實數(shù)a的取值范圍是.