Question

已知橢圓的離心率，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，且滿足（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線，當(dāng)直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)F恰為的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．
當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為．

第一問中利用根據(jù)題意得，，，，
，，
，又，


第二問中，假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，
設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214513112604.png" style="vertical-align:middle;" />，，故．                    …………7分
于是設(shè)直線的方程為，
由得，結(jié)合韋達(dá)定理并由題意應(yīng)有，又，得到結(jié)論。
解：根據(jù)題意得，，，，
，，
，又，


故橢圓方程為．   　　　　               …………5分
（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，
設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214513112604.png" style="vertical-align:middle;" />，，故．                    …………7分
于是設(shè)直線的方程為，
由得．
由，得， 且,．   ……9分
由題意應(yīng)有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或．                              …………11分
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．
當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為．
…………12分