Question

某投資公司投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的利潤(rùn)分別是P（億元）和Q（億元），它們與投資額t（億元）的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

a

4

2t

，Q=

1

8

t，其中0＜a＜4，今該公司將5億元投資這兩個(gè)項(xiàng)目，其中對(duì)甲項(xiàng)目投資x（億元），投資這兩個(gè)項(xiàng)目所獲得的總利潤(rùn)為y（億元）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
（2）怎樣投資才能使總利潤(rùn)的最大值？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)總利潤(rùn)=甲項(xiàng)目所獲利潤(rùn)+乙項(xiàng)目所獲利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）利用換元將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系分類討論即可求得函數(shù)的最值，即得到答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
（2）∵y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
∴令t=

2x

，則x=

t2

2

，且t∈[0，

10

]，
∴y=-

1

16

t2+

a

4

t+

5

8

=-

1

16

(t-2a)2+

5+2a

8

，對(duì)稱軸為x=2a，
①若0＜2a≤

10

，即0＜a≤

10

2

時(shí)，
當(dāng)t=2a時(shí)，y最大值=

5+2a

8

，此時(shí)x=

a2

2

；
②若2a＞

10

，即

10

2

＜a＜4時(shí)，函數(shù)在[0，

10

]上單調(diào)遞增，
當(dāng)t=

10

時(shí)，y最大值=

10

4

a，此時(shí)x=5．
綜合①②，若0＜a≤

10

2

時(shí)，甲項(xiàng)目投資

a2

2

億元，乙項(xiàng)目投資5-

a2

2

億元，總利潤(rùn)的最大值是

5+2a

8

億元，
若

10

2

＜a＜4時(shí)，甲項(xiàng)目投資5億元，乙項(xiàng)目投資不投資，總利潤(rùn)的最大值是

10

4

a億元．
答：當(dāng)0＜a≤

10

2

時(shí)，甲項(xiàng)目投資

a2

2

億元，乙項(xiàng)目投資5-

a2

2

億元，總利潤(rùn)的最大值是

5+2a

8

億元；當(dāng)

10

2

＜a＜4時(shí)，甲項(xiàng)目投資5億元，乙項(xiàng)目投資不投資，總利潤(rùn)的最大值是

10

4

a億元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意合理的建立數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決最值問(wèn)題．本題涉及了應(yīng)用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值，對(duì)于二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一般從開口方向，對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行處理．屬于中檔題．