Question

（2013•湖南）已知函數(shù)f(x)=cosx•cos(x-

π

3

)
（1）求f(

2π

3

)的值；
（2）求使f(x)＜

1

4

 成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）將x=

2π

3

代入f（x）解析式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得到結(jié)果；
（2）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，變形后，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到滿足題意x的集合．

解答：解：（1）f（

2π

3

）=cos

2π

3

cos（

2π

3

-

π

3

）=cos

2π

3

cos

π

3

=-cos²

π

3

=-

1

4

；
（2）f（x）=cosxcos（x-

π

3

）=cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

1

4

（1+cos2x）+

3

4

sin2x=

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

，
∴f（x）＜

1

4

，化為

1

2

cos（2x-

π

3

）+

1

4

＜

1

4

，即cos（2x-

π

3

）＜0，
∴2kπ+

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

5π

12

＜x＜kπ+

11π

12

（k∈Z），
則使f（x）＜

1

4

成立的x取值集合為{x|kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

（k∈Z）}．

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．