Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x=1，x=-1時，f（x）取得極值，并且極大值比極小值大c．
（1）求常數(shù)a，b，c的值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

（1）因為f'（x）=3x²+2ax+b；
∵當(dāng)x=-1和x=1時，f（x）取得極值，
∴f′（-1）=0，f′（1）=0，
∴

3-2a+b=0 3+2a+b=0

⇒

a=0 b=-3

．
∴f′（x）=3（x²-1）=3（x+1）（x-1）．
∴當(dāng)x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0；原函數(shù)遞增；
當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）＜0函數(shù)遞減．
∴函數(shù)極大值為：f（-1）=-1-b+c，極小值為：f（1）=1+b+c
∴（-1-b+c）-（1+b+c）=c⇒c=4．
（2）∵f（x）=x³-3x+4．
∴函數(shù)極大值為f（-1）=6；極小值為：f（1）=2．