Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上，為的重心，已知，，，.

（1）證明：平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，使得，試確定的值，使得二面角為直二面角.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）方法一：由重心的性質(zhì)得出，再由，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；

方法二：以為原點(diǎn)，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用重心的坐標(biāo)公式計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，可計(jì)算出，可證明出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；

（2）計(jì)算出和，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，即可得出異面直線與所成角的余弦值；

（3）由，得出，可求出的坐標(biāo)，然后可計(jì)算出平面（即平面）的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，由題意得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出實(shí)數(shù)的值.

（1）方法一：如圖，連接，因?yàn)?/span>是的重心，是的中點(diǎn)，

即，，，，

所以，，又因?yàn)?/span>平面，平面，平面；

方法二：以為原點(diǎn)，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，

是的重心，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，，即，

又因?yàn)?/span>平面，平面，平面；

（2），，，

所以異面直線與所成角的余弦值；

（3），，，

，

，

，，，

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由，得，即，令，可得，，

所以，平面的一個(gè)法向量為，

由，得，得，

取，則，，

所以，平面的一個(gè)法向量為，

由于二面角為直二面角，所以，，

則，解得，合乎題意.