Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）若，且在（0，+∞）為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若存在，使得，求證：且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）由在（0,+∞）為增函數(shù)可得上恒成立，然后對(duì)的符號(hào)分類討論可得結(jié)果．（2）結(jié)合題意先排除時(shí)不成立，從而得．由得，設(shè)，并結(jié)合（1）知，故得，從而，故轉(zhuǎn)化為證成立，變形后通過(guò)令構(gòu)造新函數(shù)，可證得，即證得不等式成立．

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，.

由題意得對(duì)任意恒成立.

當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；

當(dāng)時(shí)，可得恒成立，

所以，解得；

當(dāng)時(shí)，可得恒成立，

所以，解得．

綜上可得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）若，則有 ，

∴在單增，與存在滿足矛盾.

∴.

由，得,

∴．

不妨設(shè)，

由（1）知在單調(diào)遞增，

∴，

即.

∴．

又，

∴．

下面證明，

令，則．

于是等價(jià)于證明，即證．

設(shè)，

則在恒成立．

∴在單調(diào)遞減，

∴，

從而得證．

于是，即不等式成立．