Question

已知函數(shù)若存在函數(shù)使得恒成立，則稱是的一個“下界函數(shù)”.
（I） 如果函數(shù)為實數(shù)為的一個“下界函數(shù)”，求的取值范圍；
（Ⅱ）設函數(shù) 試問函數(shù)是否存在零點，若存在，求出零點個數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I） （Ⅱ）函數(shù)不存在零點.

試題分析：（I）解法一：由 得          1分
記則                   2分
當時， 所以在上是減函數(shù)，
當時， 所以在上是增函數(shù)，     3分
因此 即                 5分
解法二：由 得 
設則                1分
（1）若由知
在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，          2分
因為恒成立，所以解得      3分
（2）若當且時，
此與恒成立矛盾，故舍去；               4分
綜上得                            5分
（Ⅱ）解法一：函數(shù)
由（I）知即                6分
                 7分
設函數(shù)
（1）當時，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故
因為 所以 即            8分
（2）當時，         9分
綜上知 所以函數(shù)不存在零點.              10分
解法二：前同解法一，      7分
記 則
所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
因此                    9分
故 所以函數(shù)不存在零點.              10分
解法三：前同解法一， 因為故         7分
設函數(shù)
因此即                    9分
故 所以函數(shù)不存在零點.                10分
解法四：前同解法一，因為故          7分
從原點作曲線的切線設切點為，
那么把點代入得所以
所以（當且僅當時取等號），即         9分
故 所以函數(shù)不存在零點.               10分
點評：中檔題，本題屬于導數(shù)應用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調性，明確了極值情況。涉及比較大小問題，通過構造函數(shù)，轉化成了研究函數(shù)的單調性及最值。涉及函數(shù)的零點問題，研究了函數(shù)的單調性及在區(qū)間端點的函數(shù)值的符號。