Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)在線段上，.把沿翻折至的位置，平面，連結(jié)，點(diǎn)在線段上，，如圖2.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）依題意得，可得出，，在線段上取一點(diǎn)，滿足，可求出，結(jié)合得出，從而可證出四邊形為平行四邊形，所以，再利用線面平行的判定定理，即可證出平面；

（2）設(shè)到平面的距離為，三棱錐的體積最大時(shí)，即取到最大值，從而得出當(dāng)平面平面時(shí)，取得最大值，此時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面和平面的法向量，運(yùn)用向量法求二面角的公式，即可得出二面角的余弦值.

（1）依題意得，在矩形中，，，，

所以，.

在線段上取一點(diǎn)，滿足，

又因?yàn)?/span>，所以，

故，

又因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）設(shè)到平面的距離為，，又，

所以，故要使三棱錐的體積取到最大值，僅需取到最大值.

取的中點(diǎn)，連結(jié)，依題意得，則，

因?yàn)槠矫?/span>平面，，平面，

故當(dāng)平面平面時(shí)，平面，.

即當(dāng)且僅當(dāng)平面平面時(shí)，取得最大值，此時(shí).

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，得，，，

，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則

得令，解得，

又因?yàn)槠矫?/span>的一個(gè)法向量為，

所以，

因?yàn)?/span>為鈍角，所以其余弦值等于