Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）由參變量分離法得出在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，考查該函數(shù)在的單調(diào)性，利用單調(diào)性得出，于此可得出實數(shù)的取值范圍；

（2）先得出，換元，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域問題求解，然后分、、三種情況討論，可得出函數(shù)在上的值域，即為函數(shù)的值域.

（1）當(dāng)時，，由得，即，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，

由于不等式在上恒成立，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是；

（2）由題意可得，令，則，其中.

①當(dāng)時，，該函數(shù)的值域為；

②當(dāng)時，由于二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，

此時，該函數(shù)的值域為；

③當(dāng)時，由于二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，

此時，該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，此時，該函數(shù)的值域為.

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的值域為；

當(dāng)時，函數(shù)的值域為.