Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a≠0時，過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明： ＜a＜ ；
（3）設h（x）=f（x+1）+g（x），當x≥0，h（x）≥1時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對f（x）求導，得 ．

①若a≤0，對一切x＞0有f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）．

②若a＞0，當 時，f'（x）＞0；當 時，f'（x）＜0．

所以函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是 ，單調遞減區(qū)間是

（2）解：設切線l2的方程為y=k2x，切點為（x2，y2），則 ， ，

所以x2=1，y2=e，則 ．

由題意知，切線l1的斜率為 ，l1的方程為 ．

設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1，y1），則 ，

所以 ， ．

又因為y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得 ． （6分）

令 ，則 ，m（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．

若x1∈（0，1），因為 ， ，所以 ，

而 在 上單調遞減，所以 ．

若x1∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（e）=0，則x1=e，

所以 （舍去）．

綜上可知，

（3）解：證明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex， ．

①當a≤2時，因為ex≥x+1，所以 ，h（x）在[0，+∞）上遞增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意．

②當a＞2時，因為 ，所以h′（x）在[0，+∞）上遞增，且h′（0）=2﹣a＜0，則存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．

所以h（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合題意．綜合①②可知，所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，2]

【解析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，注意對參數(shù)a的分類討論；（2）背景為指數(shù)函數(shù)y=ex與對數(shù)函數(shù)y=lnx關于直線y=x對稱的特征，得到過原點的切線也關于直線y=x對稱，主要考查利用導函數(shù)研究曲線的切線及結合方程有解零點存在定理的應該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明；（3）考查利用導數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題，求導過程中用到了課后習題ex≥x+1這個結論，考查學生對課本知識的掌握程度．