Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條直線與其兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，記雙曲線的離心率為，則______________.

Answer 1

【答案】2或

【解析】

根據(jù)等腰三角形直角頂點(diǎn)的不同，分三種情況討論.先求得對(duì)應(yīng)漸近線的傾斜角，可得漸近線的斜率，進(jìn)而得的等量關(guān)系，即可求得雙曲線離心率的平方值.

過作一條直線與其兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，有以下三種情況：

①，當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，如下圖所示：

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，若為等腰直角三角形，

則.

所以其中一條漸近線的傾斜角為，即，

則，由雙曲線性質(zhì)可得，

所以；

②，當(dāng)過的直線與漸近線的兩支相交情況如下圖所示時(shí)：

若為等腰直角三角形，

則，

所以此時(shí)其中一條漸近線的傾斜角為，由半角公式可得，

所以，

即，

所以由，

所以.

③當(dāng)過的直線與漸近線的兩支相交情況如下圖所示時(shí)：

若為等腰直角三角形，

則，

所以此時(shí)其中一條漸近線的傾斜角為，由半角公式可得，

所以，

所以由，

所以，

綜上可知，雙曲線離心率的平方為2或，

故答案為：2或.