Question

【題目】已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點P沿梯形的邊，從點A→B→C→D→A移動，設點P移動的距離為x，BP＝y．

（1）求證：∠A＝2∠CBD；

（2）當點P從點A移動到點C時，y與x的函數關系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長．

（3）在（2）的情況下，點P從A→B→C→D→A移動的過程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．

【解析】

(1)根據等腰三角形兩個底角相等可以進一步證明∠A＝2∠CBD,

(2) 根據題意描述，可以確定AB=5，AB+BC＝8,再通過作DE⊥AB于來構造直角三角形可以求出CD長度.

(3) 根據題目描述分情況來討論哪個點為等腰三角形頂點，進而列方程進行求出P點位置情況.

（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，

∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，

∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，

∴∠A＝2∠CBD；

（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，

∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：

則DE＝BC＝3，CD＝BE，

∵AD＝AB＝5，

∴AE＝＝4，

∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；

（3）解：可能；理由如下：

分情況討論：

①點P在AB邊上時，

當PD＝PB時，P與A重合，x＝0；

當DP＝DB時，BP＝2BE＝2，

∴AP＝3，

∴x＝3；

當BP＝BD＝＝時，AP＝5﹣，

即x＝5﹣；

②點P在BC上時，存在PD＝PB，

此時，x＝5+＝；

③點P在AD上時，

當BP＝BD＝時，x＝5+3+1+2＝10；

當DP＝DB＝時，x＝5+3+1+＝9+；

綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．