Question

（2013•工業(yè)園區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連結(jié)CP、OP，OP交AC于點(diǎn)G．
（1）BD=DC嗎？說(shuō)明理由；
（2）求∠BOP的度數(shù)；
（3）求證：CP是⊙O的切線；
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出

AB•BC

PC2

的值是

6

+

2

．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DC；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD平方∠BAC，即∠BAD=∠CAD，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

DE

，則BD=DE，所以BD=DE=DC，得到∠DEC=∠DCE，在等腰△ABC中可計(jì)算出∠ABC=75°，故∠DEC=75°，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù)，再根據(jù)BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進(jìn)而得出∠ABP的度數(shù)，然后利用OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°，在Rt△AOG中，由∠OAG=30°可得

OG

AG

=

1

2

，由于

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，則

OP

AC

=

OG

AG

，根據(jù)比例性質(zhì)得

OG

AG

=

GP

GC

，而∠AGO=∠CGP，根據(jù)三角形相似的判定可得到△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC=∠AOG=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CP是⊙O的切線；
（4）作CH⊥BP于H，易△PHC為等腰直角三角形，設(shè)HC=x，則PH=x，PC=

2

x，在Rt△BHC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=2x，BH=

3

x，則PB=（

3

+1）x，在Rt△OPB中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OB=

6 + 2

2

x，則AB=（

6

+

2

）x，然后計(jì)算

AB•BC

PC2

的值．

解答：解：（1）BD=DC．理由如下：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；

（2）∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

DE

，
∴BD=DE．
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠DCE=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠DEC=75°，
∴∠EDC=180°-75°-75°=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°-30°=45°，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；

（3）設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，如圖，則∠AOG=∠BOP=90°，
在Rt△AOG中，∠OAG=30°，
∴

OG

AG

=

1

2

，
又∵

OP

AC

=

OP

AB

=

1

2

，
∴

OP

AC

=

OG

AG

，
∴

OG

AG

=

GP

GC

，
又∵∠AGO=∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切線；

（4）作CH⊥BP于H，如圖，∵∠OPC=90°，∠OPB=45°，
∴∠HPC=45°，
設(shè)HC=x，則PH=x，PC=

2

x，
在Rt△BHC中，∠HBP=30°，
∴BC=2x，BH=

3

x，
∴PB=

3

x+x=（

3

+1）x，
在Rt△OPB中，OB=

2

2

PB=

6 + 2

2

x，
∴AB=（

6

+

2

）x，
∴

AB•BC

PC2

=

( 6 + 2 )x•2x

2x2

=

6

+

2

．
故答案為

6

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握運(yùn)用切線的判定定理證明圓的切線；運(yùn)用圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解決圓中角度與線段的計(jì)算；同時(shí)記住等腰直角三角形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．