Question

【題目】如果，矩形ABCD中，點E在AB上，點F在CD上，點G，H在對角線AC上，且CH=AG，CF=AE．
（1）求證：△AGE≌△CHF；
（2）若AB=8，AD=4，且GH恰好平分∠FGE，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠FCH=∠EAG，

在△AGE和△CHF中

∴△AGE≌△CHF（SAS）；

（2）解：連接AF，

∵GH平分∠FGE，

∴∠FGH=∠EGH，

∵FH∥GE，

∴∠EGH=∠FHG，

∴∠FGH=∠FHG，

∴FG=FH，∠FGA=∠FHC，

在△FGA和△FHC中

∴△FGA≌△FHC（SAS），

∴FC=FA，

設(shè)FC=x，則FA=x，F(xiàn)D=8﹣x，

在Rt△ADF中，x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

即CF的長為5．

【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥CD，求出∠FCH=∠EAG，根據(jù)SAS推出全等即可；（2）連接AF，求出△FGA≌△FHC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出FC=FA，設(shè)FC=x，則FA=x，F(xiàn)D=8﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)．