Question

5．關于x的方程kx²+（k+1）x+$\frac{k}{4}$=0有實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使方程的兩個實數根的倒數和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分k=0和k≠0兩種情況考慮，當k=0時可求出x的值；當k≠0時，利用根的判別式△≥0即可求出k的取值范圍．綜上即可得出結論；
（2）假設存在滿足條件的實數k，設方程的兩個根是x₁、x₂，根據根與系數的關系結合兩個實數根的倒數和等于0，即可求出k值，根據（1）結論即可得出假設不成立，從而得出結論．

解答 解：（1）當k=0時，方程是一元一次方程，此時方程的根為x=0．
∴方程有根；
當k≠0時，方程為一元二次方程，
∵方程有實數根，
∴△=（k+1）²-4k•$\frac{k}{4}$=2k+1≥0，
解得：k≥-$\frac{1}{2}$且k≠0．
綜上所述k的取值范圍是k≥-$\frac{1}{2}$．
（2）假設存在滿足條件的實數k，設方程的兩個根是x₁、x₂，
∵x₁•x₂=$\frac{1}{4}$≠0，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=0，
∴x₁+x₂=0，
∵x₁+x₂=-$\frac{k+1}{k}$，
∴k+1=0，即k=-1，
∵k≥-$\frac{1}{2}$，
∴假設不成立．
∴滿足條件的實數k不存在．

點評 本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，熟練掌握當一元二次方程有解時根的判別式△≥0是解題的關鍵．