Question

設(shè)a，b，c為實數(shù)，且a≠0，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且拋物線的頂點在直線y=-1上．若△ABC是直角三角形，則Rt△ABC面積的最大值是（　　）

• A、1
• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：先根據(jù)已知條件設(shè)出拋物線與x軸的交點，由射影定理的逆定理可求出c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的頂點坐標(biāo)可求出4a=4+b²，且a≥1，再由三角形的面積公式及a的取值范圍可求出其最大面積．

解答：解：設(shè)y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，c），c≠0，交x軸于點A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂，
由△ABC是直角三角形知，點C必為直角頂點，且c²=（-x₁）x₂=-x₁x₂（射影定理的逆定理），
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，
所以c²=-

c

a

，c=-

1

a

，
又

4ac-b2

4a

=-1，即4a=4+b²，且a≥1，
所以S_△ABC=

1

2

|c|•|x₁-x₂|=

1

2a

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

1

2a

b2 a2 + 4 a2

，
=

1

a a

≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1，b=0，c=-1時等號成立，因此，Rt△ABC的最大面積是1．
故選A．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點、三角形的面積公式及根與系數(shù)的關(guān)系，有一定的綜合性，但難度適中．