Question

【題目】閱讀理解：德國著名數(shù)學(xué)家高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并有"數(shù)學(xué)王子"的美譽.高斯從小就善于觀察和思考.在他讀小學(xué)時候就能在課堂上快速的計算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：

令 ①

②

（右邊相加100+1=2+99=3+98=…..=100+1共100組）

①＋②：有2S=101x100 解得：

（1）請參照以上做法，回答，3+5+7+9+…..+97= ；

請嘗試解決下列問題：

如下圖，有一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點，依此類推．

（2）填寫下表：

層數(shù)	1	2	3	4
該層對應(yīng)的點數(shù)	1	6	12	18
所有層的總點數(shù)的和	1	7	19

①寫出第n層所對應(yīng)的點數(shù)；（n≥2）

②如果某一層共96個點，求它是第幾層；

③寫出n層的六邊形點陣的總點數(shù).

Answer 1

【答案】（1）2400；（2）①詳見解析；②（≥2）；③17層④.

【解析】

（1）用倒序相加法計算即可；

（2）根據(jù)六邊形有六條邊，則第一層有1個點，第二層有2×6-6=6（個）點，第三層有3×6-6=12（個）點，推而廣之即可求解．然后根據(jù)得到的通項公式求出相應(yīng)題目的解即可．①根據(jù)通項公式即可得出結(jié)果；②由題意得6（n-1）=96，解n即可；③據(jù)通項公式即可得出結(jié)果.

（1）3+5+7+9+…..+97=×2×（3+5+7+9+…..+97）=×48×100=2400，

故答案為：2400；

（2）第一層上的點數(shù)為1；

第二層上的點數(shù)為6=1×6；

第三層上的點數(shù)為6+6=2×6；

第四層上的點數(shù)為6+6+6=3×6；

…

第n層上的點數(shù)為（n-1）×6，

所以n層六邊形點陣的總點數(shù)為：1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2=1+6×=1+3n（n-1）；

（1）填表如下：

層數(shù)	1	2	3	4
該層對應(yīng)的點數(shù)	1	6	12	18
所有層的總點數(shù)	1	7	19	37

①根據(jù)分析可得第n層的點數(shù)之和為6（n-1）；

②由題意得：6（n-1）=96，

解得：n=17，

故第17層共有96個點；

③根據(jù)分析可得共有n層時的點數(shù)之和為1+3n（n-1）.