Question

已知在平面直角坐標系中，點C（0，2），D（3，4），在x軸正半軸上有一點A，且它到原點的距離為1．
（1）求過點C、A、D的拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一個交點為B，求四邊形CABD的面積；
（3）把（1）中的拋物線先向左平移一個單位，再向上或向下平移多少個單位能使拋物線與直線AD只有一個交點？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)拋物線的解析式，然后將對應(yīng)的三個點的值代入其中得出常數(shù)項的值，即可得到拋物線解析式；
（2）當(dāng)函數(shù)值為0時，可得到拋物線與x軸的兩個交點的坐標，故可求出AB的長度，過點D作x軸的垂線，用直角梯形的面積減去直角三角形的面積可得四邊形CABD的面積；
（3）先寫出向左平移一個單位的拋物線解析式，再設(shè)向上或向下平移k個單位的解析式，將其與直線AD的解析式組成一個方程組，解此方程組可得k的值，即再向上或向下平移多少個單位能使拋物線與直線AD只有一個交點．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知A的坐標為（1，0），
設(shè)過C、A、D三點的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵C（0，2），A（1，0），D（3，4），
∴

c=2 a+b+c=0 9a+3b+c=4

，
解得

a= 4 3 b=- 10 3 c=2

，
故過C、A、D三點的拋物線的解析式為：y=

4

3

x2-

10

3

x+2；

（2）∵點B為拋物線與x軸的另一個交點，令y=0，
則

4

3

x2-

10

3

x+2=0，
∴x1=1，x2=

3

2

，
∴點B的坐標為(

3

2

，0)，
作DE⊥x軸于點E，
∴S_{四邊形CABD}=S_梯形OEDC-S_△AOC-S_△BDE

= 1 2 ×(2+4)×3- 1 2 ×(2×1)- 1 2 ×(3- 3 2 )×4

=5；

（3）把拋物線y=

4

3

x2-

10

3

x+2，
即y=

4

3

(x-

5

4

)2-

1

12

，
向左平移一個單位得到的拋物線的解析式為：y=

4

3

(x-

5

4

+1)2-

1

12

，
即y=

4

3

x2-

2

3

x，
設(shè)拋物線y=

4

3

x2-

2

3

x向上或向下平移|k|個單位能使拋物線與直線AD只有一個交點，
則向上或向下平移|k|個單位拋物線的解析式為：y=

4

3

x2-

2

3

x+k，
設(shè)過A、D兩點的解析式為y=ax+b，
∵A（1，0），D（3，4），
代入上式得

a+b=0 3a+b=4

，
解得

a=2 b=-2

，
∴直線AD的解析式為：y=2x-2，
得

y= 4 3 x2- 2 3 x+k y=2x-2

，
∴4x²-8x+3k+6=0，
∴△=64-16（3k+6）=0，
解得，k=-

2

3

，
即拋物線y=

4

3

x2-

2

3

x向下平移

2

3

個單位，與直線AD只有一個交點．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用，其中涉及四邊形的面積，三角形的面積及拋物線的平移．