Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．
（1）當(dāng)直線l：y=x+b與⊙O只有一個交點(diǎn)時，求b的值；
（2）當(dāng)反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與⊙O有四個交點(diǎn)時，求k的取值范圍；
（3）試探究當(dāng)n取不同的數(shù)值時，二次函數(shù)y=x²+n的圖象與⊙O交點(diǎn)個數(shù)情況．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件得出兩種符合要求的解析，利用等腰三角形的性質(zhì)，分別求出即可；
（2）利用特殊點(diǎn)當(dāng)反比例函數(shù)兩曲線與圓相切時，求出DF=OF，從而得出xy的值，進(jìn)而得出取值范圍；
（3）根據(jù)當(dāng)n＞1時，有0個交點(diǎn)；②當(dāng)n=1時，有1個交點(diǎn)；③當(dāng)-1＜n＜1時，有2個交點(diǎn)；④當(dāng)n=-1時，有3個交點(diǎn)；
⑤當(dāng)-1.25＜n＜-1時，有4個交點(diǎn)；⑥當(dāng)n=-1.25時，⑦當(dāng)n＜-1.25時，分別分析得出．

解答：解：（1）∵y=x+b與⊙O只有一個交點(diǎn)，
∴y=x+b與x軸，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（±b，0），（0，±b），
∴△AOB為等腰直角三角形，CO=AC=BC=1，
∴b的值為：b=±

2

；

（2）∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與⊙O有四個交點(diǎn)，
∵當(dāng)圖象與與⊙O有二個交點(diǎn)時，
曲線與圓相切，得出DF=OF=

2

2

，
∴xy=k=

1

2

，
∴-

1

2

＜k＜

1

2

(k≠0)；

（3）①當(dāng)n＞1時，有0個交點(diǎn)；
②當(dāng)n=1時，有1個交點(diǎn)；
③當(dāng)-1＜n＜1時，有2個交點(diǎn)；
④當(dāng)n=-1時，有3個交點(diǎn)；
⑤當(dāng)-1.25＜n＜-1時，有4個交點(diǎn)；
⑥當(dāng)n=-1.25時，有2個交點(diǎn)；
⑦當(dāng)n＜-1.25時，有0個交點(diǎn)；
簡解：∵x²+y²=1而y=x²+n即x²=y-n，
代入得y-n+y²=1，即y²+y-n-1=0，
要使二次函數(shù)圖象與下半圓只有兩個交點(diǎn)，根據(jù)對稱性，y必須唯一，
∴△=4n+5=0，n=-

5

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了拋物線解析式的確定、以及反比例函數(shù)的性質(zhì)和三角形面積的求法等重要知識點(diǎn)，此題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．