Question

【題目】如圖，二次函數(shù) 的圖像與 軸交于 、 兩點，與 軸交于點 ， ．點 在函數(shù)圖像上， 軸，且 ，直線 是拋物線的對稱軸， 是拋物線的頂點．

圖 ① 圖②
（1）求 、 的值；
（2）如圖①，連接 ，線段 上的點 關(guān)于直線 的對稱點 恰好在線段 上，求點 的坐標(biāo)；
（3）如圖②，動點 在線段 上，過點 作 軸的垂線分別與 交于點 ，與拋物線交于點 ．試問：拋物線上是否存在點 ，使得 與 的面積相等，且線段 的長度最小？如果存在，求出點 的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD⊥x軸，CD=2，

∴拋物線對稱軸為直線l:x=1，

∴=1，則b=-2。

∵OB=OC，C（0，c），

∴B點的坐標(biāo)為（-c,0），

∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），

∴c=-3,

（2）

解：由（1）可得拋物線解析式為y=x2-2x-3，則E（1，-4）

設(shè)點F的坐標(biāo)為（0，m），

∵對稱軸為直線l:x=1,

∴點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標(biāo)為（2，m）。

∵直線BE經(jīng)過點B（3，0），E（1，-4），

∴利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式y(tǒng)=2x-6,

∵點F在BE上，

∴m=2×2-6=-2，

即點F的坐標(biāo)為（0，-2）。

（3）

解：存在點Q滿足題意。設(shè)點P坐標(biāo)為（n,0），則PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1。

①點Q在直線PN的左側(cè)時，Q點的坐標(biāo)為（n-1,n2-4n）,R點的坐標(biāo)為（n,n2-4n）,N點的坐標(biāo)為（n,n2-2n-3）,

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2,

∴n=時，NQ取最小值1，此時Q點的坐標(biāo)為（，）

②點Q在直線PN的右側(cè)時，Q點的坐標(biāo)為（n+1,n2-4）.

同理NQ2=1+（2n-1）2,

∴n=時，NQ取最小值1，此時Q點的坐標(biāo)為（,）.

綜上所述，滿足題意的點Q的坐標(biāo)為（,）和(,)

【解析】（1）因為CD⊥x軸，所以C與D的縱坐標(biāo)相等，即C與D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則可得對稱軸是直線l:x=1，從而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函數(shù)解析式，求出c的值即可;
（2）設(shè)點F的坐標(biāo)為（0，m）關(guān)于直線x=1的對稱點為（2，m），則求出BE的解析式，將（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可設(shè)P（n,0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN，垂足為R，由S△PQN=S△APM ， 可列出方程求出QR=1；
分類討論點Q在直線PN的左側(cè)和Q在直線PN的右側(cè)時，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2,求出當(dāng)n為多少時，NQ為最小值，寫出相對應(yīng)的Q的坐標(biāo)。
【考點精析】掌握二次函數(shù)的圖象和三角形的面積是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；三角形的面積=1/2×底×高．