Question

如圖，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別是AD、BC、BE、CE的中點

（1）求證：△ABE≌△DCE

（2）四邊形EGFH是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

（3）連接EF,當四邊形EGFH是正方形時，線段EF與GH有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）是菱形．證明見解析；（3）EF⊥BC，且EF=BC．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出∠A=∠D，結(jié)合題意AB=CD，點E是AD的中點，利用SAS即可判斷全等．

（2）根據(jù)中位線定理可得出GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，從而可判斷出四邊形EGFH的形狀．

（3）連接EF，則根據(jù)等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可判斷出EF與BC的關(guān)系．

試題解析：（1）證明：由題意可得ABCD是等腰梯形，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE．

（2）四邊形EGFH是菱形．

證明：∵GF、FH是△EBC的中位線，且由（1）得EB=EC，

∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，

∴四邊形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=BC．

證明：連接EF，

∵EFGH是正方形，

∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形

∴EF⊥BC，且EF=BC．

考點：1.等腰梯形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.菱形的判定；4.正方形的性質(zhì)．