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        1. 如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
          (1)求A、B兩點(diǎn)的距離以及點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (3)若在以點(diǎn)C為頂點(diǎn),且過點(diǎn)B的拋物線上和在⊙O′上是否分別存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
          分析:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出OA+OB和OA•OB的值.連接AB,根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑,再結(jié)合勾股定理列方程求解.
          (2)若OC2=CD•CB,則△OCB∽△DCO,則∠COD=∠CBO,然后判斷點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn),連接O′C,根據(jù)垂徑定理的推論,得O′C⊥OA.再進(jìn)一步根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.
          (3)根據(jù)相似三角形OBD和ECD求出OD的長,那么S△ABD=S△POD,可據(jù)此求出三角形POD中OD邊上的高,然后同圓O′中點(diǎn)到x軸的最大距離進(jìn)行比較即可得出P是否在圓上.
          解答:解:(1)連接AB,

          ∵∠BOA=90°,
          ∴AB為直徑,由根與系數(shù)關(guān)系得OA+OB=-k,OA•OB=60,
          根據(jù)勾股定理,得OA2+OB2=169,
          即(OA+OB)2-2OA•OB=169,
          解得k2=289,
          故k=±17(正值舍去).
          則有方程x2-17x+60=0,
          解得:x=12或5.
          又∵OA>OB,
          ∴OA=12,OB=5.

          (2)若OC2=CD•CB,則△OCB∽△DCO,
          ∴∠COD=∠CBO,
          又∵∠COD=∠CBA,
          ∴∠CBO=∠CBA,
          ∴點(diǎn)C是弧OA的中點(diǎn).
          連接O′C交OA于點(diǎn)E,根據(jù)垂徑定理的推論,得O′C⊥OA,

          根據(jù)垂徑定理,得OE=6,根據(jù)勾股定理,得O′E=2.5,
          故CE=4,即點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,-4).

          (3)假定在⊙上存在點(diǎn)P,使S△ABD=S△POD,

          ∵OB∥EC,
          ∴△OBD∽△ECD,
          OB
          EC
          =
          OD
          ED
          ,即
          5
          4
          =
          OD
          6-OD
          ,
          解得OD=
          10
          3
          ,
          ∴S△ABD=
          1
          2
          AD•BO=
          65
          3
          ,
          ∴S△POD=
          65
          3

          故可得在△POD中,OD邊上的高為13,即點(diǎn)P到x軸的距離為13,
          ∵⊙上的點(diǎn)到x軸的最大距離為9,
          ∴點(diǎn)P不在⊙上,
          故在⊙上不存在點(diǎn)P,使S△ABD=S△POD
          點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題目,涉及了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),注意所學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.
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          如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分精英家教網(wǎng)別是方程x2+kx+60=0的兩根.
          (1)求A、B兩點(diǎn)的距離;
          (2)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (3)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (4)在⊙O′上是否存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為(-
          b
          2a
          ,
          4ac-b2
          4a

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•棲霞市二模)如圖將半徑為4米的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為
          4
          3
          4
          3
          米.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省蘇州市新區(qū)一中九年級(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)(解析版) 題型:解答題

          如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
          (1)求A、B兩點(diǎn)的距離以及點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (3)若在以點(diǎn)C為頂點(diǎn),且過點(diǎn)B的拋物線上和在⊙O′上是否分別存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(05)(解析版) 題型:解答題

          (2004•瀘州)如圖,半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
          (1)求A、B兩點(diǎn)的距離;
          (2)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (3)已知點(diǎn)C在劣弧OA上,連接BC交OA于D,當(dāng)OC2=CD•BC時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (4)在⊙O′上是否存在點(diǎn)P,使△ABD的面積等于△POD的面積,即S△ABD=S△POD?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為(-

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