Question

如圖1，已知tan∠MON=2，點P是∠MON內(nèi)一點，PC⊥OM，垂足為點C，PC=2，OC=6，A是OC延長線上一點，連接AP并延長與射線ON交于點B．
（1）當點P恰好是線段AB的中點時，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；
（2）當CA的長度為多少時，△AOB是等腰三角形；
（3）設，是否存在適當?shù)膋，使得？若存在，試求出k的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BE⊥OM，垂足為點E，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到BE=4，再根據(jù)正切的定義得到OE=2，EC=CA=4，易證得Rt△OBE≌Rt△PAC，得到∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，而∠CPA=∠EBA，即可得到∠OBE+∠EBA=90°；
（2）設OE=a，則BE=2a，OB=a，設CA=x，由PC∥BE，則，可得到a=，然后分類討論：若OA=OB，即x+6=•；若AO=AB，即；若OB=AB時，OE=EA，，分別解方程即可得到x的值；
（3）同（2）設法一樣，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△APC=•x•2=x，S_△ABO=•2a•（x+6）=（x+6）a，由，得==，得到，再根據(jù)題意得到
，而a=，即可得到關于x的方程，解方程即可．
解答：解：（1）△AOB為直角三角形．理由如下：
過點B作BE⊥OM，垂足為點E，如圖，
∵PC⊥OM，
∴BE∥PC，
∵點P是線段AB的中點，PC=2，
∴BE=4，
又∵tan∠MON=2，tan∠MON==2，
∴OE=2，
∵OC=6，
∴EC=CA=4
∴Rt△OBE≌Rt△PAC，
∴∠OBE=∠OAB，∠AOB=∠CPA，
而∠CPA=∠EBA，
∴∠OBE+∠EBA=90°，
∴△OBA為直角三角形；

（2）設OE=a，則BE=2a，OB=a
∵PC∥BE，
∴，
設CA=x，則=，
∴a=，
∴OA=6+x，OB=，
①若OA=OB，即x+6=•
解得x=-1；
②若AO=AB，即
解得；
③若OB=AB時，OE=EA，
∴，解得x=1；
綜上，當CA的值分別為、、1時，△AOB是等腰三角形．

（3）存在．理由如下：
同（2）設CA=x，OE=a，
∵S_△APC=•x•2=x，S_△ABO=•2a•（x+6）=（x+6）a，
由，得==，
∴，
∵，
∴，
∴x=6a，
而a=，
∴6•=x，
解得x₁=9，x₂=-4（舍去），
∴．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相似比．也考查了三角形的中位線定理以及解方程的方法．