Question

【題目】已知四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．證明:=；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：

當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得=成立？并證明你的結論；

（3）如圖3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當∠B+∠EGC=180°時，=成立．證明見解析；（3）．

理由見解析.

【解析】

（1）根據矩形性質得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，證出△AED∽△DFC即可；

（2）當∠B+∠EGC=180°時，DECD=CFAD成立，證△DFG∽△DEA，得出，證△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；

（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-3）2+（x）2=62，求出CN=，證出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED∽△DFC，

∴，即=.

（2）當∠B+∠EGC=180°時，=成立．

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠ADC，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠A=∠EGC=∠FGD，

∵∠FDG=∠EDA，

∴△DFG∽△DEA，

∴，

∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，

∴∠CGD=∠CDF，

∵∠GCD=∠DCF，

∴△CGD∽△CDF，

∴，

∴，

∴，

即當∠B+∠EGC=180°時，成立．

（3）解：．

理由是：過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，

設CN=x，

∵AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CNA=90°，

∴四邊形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠CBM=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴，

∴

∴

在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣3，由勾股定理得：，

∴，

解得x=0（舍去），x=

∴CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，

∴