Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接DE．
（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系？并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為

3

，DE=3，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）直線DE與⊙相切．根據(jù)切線的判定定理只需證明OE⊥DE即可；
（2）根據(jù)（1）中的證明過程，會發(fā)現(xiàn)BC=2DE，根據(jù)勾股定理求得AC的長，進一步求得直角三角形斜邊上的高BE，最后根據(jù)勾股定理求得AE的長．

解答：解：（1）直線DE與⊙相切．理由如下：
連接OE，BE，
∵AB是直徑．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中點，
∴DE=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=2DE=6，
∴AC=4

3

．
∴BE=3．
∴AE=

3

．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．