Question

閱讀下面短文：
如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）
解答問(wèn)題：
（1）設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S₁、S₂，則S₁

 

S₂（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)

 

個(gè)，利用圖③把它畫(huà)出來(lái)．
（3）如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出

 

個(gè)，利用圖④把它畫(huà)出來(lái)．
（4）在（3）中所畫(huà)出的矩形中，哪一個(gè)的周長(zhǎng)最小？為什么？

Answer 1

分析：（1）易得原有三角形都等于所畫(huà)矩形的一半，那么這兩個(gè)矩形的面積相等．
（2）可仿照?qǐng)D2矩形ABFE的畫(huà)法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一種情況．
（3）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在矩形的另一邊的對(duì)邊上，可得三種情況．
（4）根據(jù)三個(gè)矩形的面積相等，利用求差法比較三個(gè)矩形的周長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）=
（2）1
（3）3
（4）以AB為邊長(zhǎng)的矩形周長(zhǎng)最小，
設(shè)矩形BCED，ACHQ，ABGF的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c．易得三個(gè)矩形的面積相等，設(shè)為S，
∴L₁=

2S

a

+2a；L₂=

2S

b

+2b；L₃=

2S

c

+2c．
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-s

ab

而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃
∴以AB為邊長(zhǎng)的矩形周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng)：注意運(yùn)用類比的方法畫(huà)圖；要比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小，一般采用求差法．