Question

11．已知二次函數(shù)y=-x²+2x+3與x軸的交點為A、B（A在 B的左邊），與y軸交點為C，頂點為D．
（1）在圖中給出的平面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象（要求所畫圖象與坐標軸交點A、B、與y軸交點為C，頂點為D的位置準確）．
（2）若M（m-1，y₁），N（m，y₂）是函數(shù)y=-x²+2x+3圖象上的兩點，且m＜1，請比較y₁，y₂的大小關(guān)系．（直接寫結(jié)果）
（3）關(guān)于x的一元二次方程-x²+2x+3=n-1有實數(shù)根，寫出實數(shù)n的范圍．
（4）你能利用函數(shù)圖象求不等式-x²+2x+3＞x-3的解集嗎？寫出你的結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的解析式求出點A、B、C、D的坐標，畫出圖象即可；
（2）求出拋物線y=-x²+2x+3的對稱軸為x=1，m-1＜m＜1，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；
（3）把一元二次方程-x²+2x+3=n-1化成一般形式，由題意得出判別式△=4-4（n-4）≥0，解不等式即可；
（4）畫出一次函數(shù)y=x-3的圖象，求出兩個函數(shù)圖象的交點橫坐標，由圖象即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）對于y=-x²+2x+3，
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
當x=0時，y=3，
∴C（0，3）；
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
該二次函數(shù)的大致圖象如圖1所示：
（2）∵拋物線y=-x²+2x+3的對稱軸為x=1，m-1＜m＜1，
在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴y₁＜y₂；    
（3）把一元二次方程-x²+2x+3=n-1化成一般形式得x²-2x+n-4=0，
∵一元二次方程-x²+2x+3=n-1有實數(shù)根，
∴△=4-4（n-4）≥0，
解得：n≤5；
（4）能，不等式-x²+2x+3＞x-3的解集為-2＜x＜3，理由如下：
一次函數(shù)y=x-3的圖象如圖2所示：
當-x²+2x+3=x-3時，
解得：x=-2或x=3，
根據(jù)圖象得：不等式-x²+2x+3＞x-3的解集為-2＜x＜3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的圖象解法等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．