Question

如圖，已知拋物線y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點(diǎn)，（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5
（1）試確定m的值；
（2）過點(diǎn)A（-1，-5）和拋物線的頂點(diǎn)M的直線交x軸于點(diǎn)B，求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個動點(diǎn)（含C、M點(diǎn)），△POQ是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形，過點(diǎn)Q作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)R，連接PR．設(shè)△PQR的面積為S，求S與a之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）因為拋物線y=mx²+（3-m）x+m²+m交x軸于C（x₁，0），D（x₂，0）兩點(diǎn)（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5，
∴m≠0
∵x1+x2=

m-3

m

，x1x2=

m2+m

m

，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂+1=5，
∴

m2+m

m

+

m-3

m

+1=5，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合題意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x²+4x，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）．如圖，
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
∵A（-1，-5），
則有

-5=-k+b 4=2k+b

，
解得

k=3 b=-2

，
∴y=3x-2，
當(dāng)y=0時，x=

2

3

，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

3

，0）；

（3）依題意，點(diǎn)P（a，b）是拋物線上點(diǎn)C到點(diǎn)M之間的一個動點(diǎn)，
∴0＜a≤2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0），
由（2）知直線AM為y=3x-2，
∴當(dāng)x=2a時，y=6a-2，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（2a，6a-2），
過點(diǎn)P作PN⊥RQ于點(diǎn)N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2|•|a|，
當(dāng)0＜a＜

1

3

時，S=

1

2

(2-6a)•a=-3a²+a，
當(dāng)a=

1

3

時，△PQR不存在；
當(dāng)

1

3

＜a≤2時，S=

1

2

(6a-2)•a=3a²-a．